Il primo zero

L’iscrizione, originariamente collocata sulla porta del tempio pre-angkoriano di Sambor, vicino al fiume Mekong, è ritenuta la più antica testimonianza dello zero. 

                          La testimonianza archeologica più antica è in Cambogia

Ma le radici filosofiche sono in India

E l’elaborazione più raffinata si deve agli studiosi musulmani

 che inventarono l’algebra

Finché il giovane pisano Leonardo Fibonacci non lo portò in Europa

Amedeo Feniello, "Corriere della Sera -  La Lettura",  7 febbraio 2016

L’uomo, nella sua storia, di rivoluzioni ne ha viste tante. Una, però, stupisce più delle altre. Talmente grande che, ai nostri occhi, quasi svanisce. Perché ormai banale. Scontata. La rivoluzione dei numeri. Una rivoluzione tutt’altro che rapida. Ma lenta e tortuosa. Capace di avviluppare, nel corso dei secoli, tre continenti: Asia, Africa ed Europa. Regalandoci nove cifre e, con esse, lo zero. Il tutto, ben combinato, rende possibile l’impossibile. Rappresentare — e calcolare — qualunque tipo di numero di qualunque grandezza, minima quanto incommensurabile. Con grazia. Con facilità. Brevi linee che, per parafrasare Shakespeare, mescolate tra loro permettono a semplici sgorbi di trasformarsi in milioni di miliardi. Tendenti all’infinito.

Dove comincia questa storia? Non nell’Impero romano, in cui l’idea dello zero era assente e l’elaborazione del calcolo arcaica e farraginosa. Ma lontano. In un Oriente magnifico, fantastico, semisconosciuto. Ma di preciso? L’itinerario è vasto. Va dalla Mesopotamia all’India fino alla Cambogia. Là dove, racconta Amir D. Aczel nel suo libro Caccia allo zero (Raffaello Cortina), a Sambor Prei Kuk negli anni Venti del Novecento il francese Cœdès portò alla luce la prima testimonianza archeologica dello zero, che anticipa almeno di due secoli quella indiana di Gwalior, risalente al IX secolo della nostra era.

Tracce archeologiche. Evidenti. Che ci riportano al nostro Medioevo. Ma il cammino è tanto più antico. A partire proprio dalla penisola indiana. Dove il cuore di tutto è lo Shunya . Che in indiano significa zero. Termine legato all’idea buddhista di nulla, che viene definito infatti Shunyata . Insomma, lo zero, il numero e il nulla buddhista — lo scopo della meditazione e un ideale cui aspirare per raggiungere il Nirvana o illuminazione — sono una cosa sola. Figli dello stesso concetto filosofico. Profondo, ricco di simboli e di implicazioni. È lì la matrice di ogni ragionamento.

Nella pratica, il nuovo sistema che nasce si basa su tre idee chiave: le notazioni per le cifre, il valore posizionale e lo zero. Sistema che viene elaborato nel Brahmasphuta Siddhanta di Brahmagupta (VII secolo), che, per primo, descrive lo zero come il risultato che otteniamo quando sottraiamo un numero da se stesso. Ma se dottrina filosofica e matematica si fondono nel mondo indiano, è la concretezza dei mercanti dell’economia-mondo musulmana altomedievale che mette in moto questa macchina fatta di cifre facili da adoperare nelle transazioni. Con una raffinatezza di calcolo che si accentua di momento in momento, di anno in anno. Attraverso elaborazioni che prevedono percentuali, frazioni, risoluzioni algebriche, progressioni ecc.

Un’onda che secoli prima del Mille conquista Bagdad e l’intero Nord Africa. Con matematici straordinari. Tra i più grandi? Al-Khwarizmi, vissuto probabilmente tra il 750 e l’850, dal cui nome volgarizzato in latino deriva il termine algoritmo. L’autore dell’ Al-Kitab , il trattato su quella che noi oggi chiamiamo l’algebra, nel quale è presente un approccio sistematico alla soluzione delle equazioni lineari, con un’ampia spiegazione di come si risolvano quelle polinomiali fino al secondo grado. Un mondo in cui lo zero espande la sua influenza e gli vengono conferiti attributi per sottrarlo all’opacità della sua essenza di Niente che, aggiunto a qualcosa come un numero, si trasforma in Tutto. Attributi che fioccano: lo chiamano il Nulla o il Vuoto o il Vento: Sifr, termine che designa la cifra per eccellenza. Parola derivata verosimilmente da Zephirus, da cui zero.

Per l’Europa, la storia dello zero e dei suoi nove compagni comincia molto dopo. E lontano dalle sue coste. Si parte dalla città nordafricana di Bugia di Barberia, dove, alla fine del XII secolo, un giovane pisano, Leonardo Fibonacci, come racconta lui stesso nel Liber abaci, viene istruito fin dall’infanzia da maestri musulmani «nell’abaco al modo degli Hindi» e a conoscere le «nove figure dei numeri usati dagli indiani». Va detto che Leonardo non era il primo occidentale a conoscere questa numerazione. In realtà, altri avevano assorbito dalla Spagna musulmana la conoscenza delle nuove cifre. Basti pensare al Codex Vigilanus, del 976. Oppure a Gerberto d’Aurillac, Papa Silvestro II, che, circa negli stessi anni, cerca di migliorare l’efficienza dell’abaco, usando simboli che adoperano una forma primitiva di cifre indo-musulmane.

Tuttavia, prima di Fibonacci nessuno in Occidente aveva compreso le potenzialità dei numeri indo-musulmani da applicare in maniera costante sia al mondo del commercio sia nella vita quotidiana. È a partire da lui che si comincia a sfruttare al meglio questa innovazione, trasformandola in qualcosa di eccezionale. Però, non fu una passeggiata. Per Guglielmo di Malmesbury i numeri non sono altro che pericolosa magia saracena. Firenze, alla fine del Duecento, ha paura dello zero, cifra oscura e segreta, e lo proibisce. Un pregiudizio che dura a lungo: ad esempio all’Università di Padova i bibliotecari erano tenuti a scrivere i prezzi dei libri «non per cifras sed per litteras claras». Nel 1494 il sindaco di Francoforte ancora dava istruzioni ai suoi capi contabili di «astenersi dal calcolare con le cifre». Addirittura nel 1549 un canonico di Anversa ammoniva i mercanti a non usare i numeri nei contratti e negli affari.

Ma si tratta di scorie, in una società dove avanza a grandi passi la razionalità contabile delle compagnie internazionali italiane ed europee. E l’intuizione, nata nelle foreste della Cambogia e dell’India, ha ormai mutato pelle, in profondità: non più patrimonio di pochi iniziati, avvezzi ai simboli e alle pratiche filosofico-numeriche, ma strumento rivoluzionario di conoscenza e di controllo della realtà. Emblema della nuova epoca rampante, inarrestabile e aggressiva del capitalismo e dell’egemonia occidentale.

Ipazia, la filosofa pagana uccisa dai talebani cristiani

A Rimini una mostra nel XVI centenario della morte

Una raccolta di firme per dedicarle una piazza di Roma

Silvia Ronchey

"La Stampa", 1 maggio 2015

Anche se non esiste un martirologio laico, da più parti e in più modi, discretamente, quasi sotterraneamente, il mondo ricorda quest’anno il sedicesimo centenario del martirio di Ipazia, la filosofa bizantina assassinata ad Alessandria d’Egitto dalle milizie fondamentaliste cristiane del vescovo Cirillo nella primavera del 415, poco prima di Pasqua. Una mostra al Museo del Calcolo di Rimini (Ipazia matematica alessandrina, fino al 30 agosto. Sabato e domenica dalle 10 alle 12.30 e dalle 15 alle 18) ricorda questa donna eminente, amata dai suoi discepoli pagani e cristiani, esponente di una moderazione di pensiero cui faceva riscontro «una franchezza di parola», narrano gli storici, per cui «si rivolgeva faccia a faccia ai potenti e non aveva paura di apparire alle riunioni degli uomini, i quali, data la sua straordinaria saggezza, le erano tutti deferenti e la guardavano con timore reverenziale».

Sulla Luna

Su Ipazia, maestra di scienza e di sapienza ma anche di impegno civico, icona della libertà di pensiero, la mostra di Rimini offre ai visitatori una documentazione essenziale: documenta la sua cultura scientifica (in esposizione, insieme ad antichi strumenti di calcolo astronomico, le opere di Euclide, Apollonio, Diofanto e soprattutto di Tolomeo, di cui commentò le Tavole semplici e rivide l’Almagesto) e testimonia la devozione che lungo sedici secoli le ha tributato l’intera cultura occidentale, dalla pittura (per esempio il celebre quanto discusso ritratto segreto di Raffaello nella Scuola d’Atene) alla letteratura (uno per tutti l’omaggio di Leopardi nella Storia dell’astronomia) fino alla scienza moderna, che le ha intitolato il cratere lunare Ipazia, non lontano dal punto di allunaggio dell’Apollo 11, come evidenzia l’ultima vetrina.

In questi tempi in cui il Medio Oriente è percorso dal terrore dell’integralismo islamico e insanguinato da episodi massicci e cruenti di persecuzione religiosa, non è facile ma è importante ricordare che la chiesa cristiana ai suoi inizi si macchiò di una violenza integralista per molti versi affine, come quella dei parabalani, i monaci-barellieri, di fatto miliziani clericali che massacrarono Ipazia, la fecero a pezzi e diedero i suoi resti alle fiamme. E’ unanime la testimonianza delle fonti coeve e poi bizantine secondo cui fu il vescovo Cirillo il mandante di quell’assassinio che rifletteva non tanto un conflitto religioso o una lotta per la supremazia confessionale, già assicurata dai decreti teodosiani (che avevano appena proclamato il cristianesimo religione di stato) quanto una precisa e circostanziata strategia di appropriazione del potere statale, in una prospettiva teocratica.

Il vescovo Cirillo

Il proselitismo armato di Cirillo contraddiceva in pieno l’idea di tolleranza propugnata cento anni prima dall’editto di Costantino del 313, così come la tendenza conciliatoria del cristianesimo con il paganesimo d’élite che il primo imperatore cristiano aveva appoggiato politicamente e sancito giuridicamente. Rivendicava l’accesso della chiesa alla conduzione della politica: un vero e proprio potere temporale, più affine al modello del papato romano che alla rigorosa separazione dei poteri sancita dal cosiddetto cesaropapismo bizantino.

Anche per questo, forse, la posizione ufficiale della chiesa di Roma, nonostante le scuse e le richieste di perdono dispensate un po’ a tutti tra la fine del ventesimo e l’inizio del ventunesimo secolo, e malgrado la gravità e la natura quasi terroristica dell’antico assassinio di Ipazia, non ha mai voluto mettere in discussione Cirillo, la sua santità, la sua probità.

Ancora a fine Ottocento Leone XIII lo ha proclamato dottore della chiesa (Doctor Incarnationis). Nella celebrazione che ne ha fatto il 3 ottobre 2007 Benedetto XVI ha lodato «la grande energia» del suo governo ecclesiastico «senza spendere due righe», com’è stato osservato, «per assolverlo dall’ombra che la storia ha fatto pesare su di lui». Anche se alcuni intellettuali cattolici hanno invitato, se non alla decanonizzazione, alla cautela, una chiesa di San Cirillo Alessandrino è stata da poco edificata a Roma a Tor Sapienza.

Ed ecco che in questa Pasqua di milleseicento anni successiva alla sanguinaria quaresima del 415 in cui si consumò l’assassinio di Ipazia una sorprendente iniziativa è stata presa dall’Associazione Toponomastica Femminile e da un’ampia e diversificata serie di associazioni cittadine romane, che si sono costituite in comitato e hanno presentato all’ufficio toponomastico del comune di Roma una petizione per dedicarle un adeguato spazio urbano nella città di Pietro: «Una piazza per Ipazia» ha raccolto oltre 1500 firme, che si sommano a quelle di altre richieste già inoltrate e alla proposta di un’intitolazione proprio a Tor Sapienza, nell’area della nuova chiesa di San Cirillo.

Tolleranza laica

Non è una provocazione, al contrario, vuol essere una pacificazione. La tolleranza laica non impedisce certo di continuare a annoverare tra i santi del calendario il «terribile vescovo», come lo chiama la Storia ecclesiastica di Socrate. Ma anche i fedeli cristiani hanno il diritto di ricordare la sua antica vittima e l’insegnamento che la storia e ha da darci sui pericoli del fanatismo religioso, in questi difficili tempi di lotte e persecuzioni.

Siamo tutti Alice eterni sognatori dell’altro mondo

Il classico di Lewis Carroll compie 150 anni: 

uno scrittore ci svela perché non possiamo non amarlo

Michele Mari

"La Repubblica", 21 gennaio 2015

L’autore usava filastrocche e nonsense anche durante le sue lezioni di matematica L’opera ha avuto infinite interpretazioni dalle trame algebriche alla critica sociale

ALAN Turing, il padre dell’intelligenza artificiale che il pubblico sta conoscendo grazie al film The imitation game , si suicidò nel 1954 mangiando una mela rossa in cui aveva iniettato del cianuro. Non sappiamo se una parte della sua mente meravigliosa si illudesse di poter tornare alla vita come Biancaneve; è tuttavia evidente che un suicidio così didascalicamente fiabesco ha una fortissima valenza regressivoinfantile.

Oltre a implicare una polemica dichiarazione di “innocenza” (Turing era stato processato e condannato per omosessualità).

Genio, Inghilterra, matematica, puritanesimo, taccia di immoralità, infanzia, fiaba: le coordinate che definiscono Turing portano dritto a Charles Lutwidge Dodgson, che esattamente 150 anni fa firmò Alice nel paese delle meraviglie con lo pseudonimo di Lewis Carroll. Sotto il suo vero nome pubblicò invece una cospicua serie di trattati di logica e di articoli, in uno dei quali rivelava la scoperta di un principio (noto come “regresso di Bolzano-Carroll”, essendo stato scoperto indipendentemente anche dal boemo Bernard Bolzano) del quale si sarebbe avvalso lo stesso Turing nell’elaborazione della propria “macchina” algoritmica. E pur se non drammaticamente come Turing, anche Carroll ebbe i suoi guai con la morale pubblica. A lungo è stato gravato dal sospetto di pedofilia, e sebbene oggi la maggior parte degli studiosi ritenga che il suo interesse per le bambine, per quanto morboso, non lo spingesse mai ad alcun tipo di abuso o di molestia, resta il fatto che egli stesso era consapevole dell’ambiguità, tanto da distruggere migliaia di fotografie infantili scattate in oltre venticinque anni. Compagno di strada dei preraffaeliti, in quelle bambine ritratte fra erbe e fiori cercava di cogliere l’innocenza: e cosa di più rassicurante per un cultore dell’innocenza che regredire al livello degli innocenti? Bamboleggiare, esprimersi per filastrocche e nonsense, abbandonarsi a un immaginario onirico e surreale furono il suo modo, paradossalmente, di essere “rispettabile”.

Non ci si stupisce nell’apprendere che la sua proverbiale balbuzie cessava come per incanto quando la sua frase si metricizzava in filastrocche rimate, le stesse che informano Alice nel paese delle meraviglie e il successivo Alice nello specchio.

Non solo: ma da diverse testimonianze parrebbe che Carroll, non dalla cattedra di matematica che aveva alla Christ Church ma nel salotto di casa propria, in occasione di lezioni private, insegnasse in versi, riducendo formule e teoremi a filastrocche. E ancora nel 1885, sotto il titolo A tangled tale (Una storia intricata), raccolse una serie di racconti matematici in cui l’elemento ludico era direttamente proporzionale all’intento didascalico.

La logica combinatoria insinuò in Carroll una vera ossessione per i giochi di carte e per l’enigmistica (in questo il suo scrittore fraterno è Leo Perutz, autore di romanzi fantastici e di manuali di scacchi e di bridge): tutti conoscono la tremenda Regina di Cuori e le sue cartesuddito (capitolo 8 di Alice: Il campo da croquet della Regina), ma quanti, giocando a Word ladder (“Scala di parole” o metagramma), sanno che quel gioco fu inventato da Lewis Carroll nel 1879? In quel caso si trattava di escogitare qualcosa per intrattenere due bambine, Julia ed Ethel Arnold (la prima destinata ad essere la madre di Aldous Huxley), proprio come la genesi di Alice, notoriamente, è legata a una gita in barca con le tre sorelline Liddell, il 4 luglio del 1862. Lorina, Alice e Edith Liddell, figlie del rettore della Christ Church, avevano rispettivamente tredici, dieci e otto anni, e non era la prima volta che si diportavano sul Tamigi con Carroll e con il reverendo Duckworth (un nome che sembra finto, e che infatti ispirò il personaggio dell’anatra: ma a parte questo, fosse forma deontologica o più cruciale profilassi, pare che per queste scampagnate e per le sue sessioni fotografiche Carroll facesse sempre in modo di non rimanere mai da solo con le sue giovani amiche). La leggenda vuole che, inventata lì per lì, la vicenda di una bambina che finisce in un sottomondo fantastico fosse subito attribuita a quella, delle tre sorelle, con l’età più consona: quindi non la già adolescente Lorina e non la troppo piccola Edith, ma la decenne Alice, la quale poche settimane dopo si vide consegnare da Carroll un manoscritto intitolato Alice’s adventures under ground. Da quel momento Alice si impose come “libro” anche nella coscienza del proprio autore, che per oltre due anni continuò a lavorarvi con una dedizione che nei paesi di lingua inglese ha fatto la gioia della filologia delle varianti. Nel 1865 venivano così alla luce, associate alle magnifiche illustrazioni di John Tenniel, le Alice’s adventures in Wonderland , uno dei tre o quattro libri più tradotti al mondo dopo la Bibbia. 

Leggibilissimo “letteralmente”, come di fatto è stato letto da centinaia di milioni di bambini, Alice si presta a livelli di lettura via via più complessi. Il matematico Martin Gardner ha dimostrato che dietro molte apparenti assurdità si nascondono altrettanti principii matematici, mentre altri esegeti hanno evidenziato una fittissima trama di allusioni a personaggi e vicende della società contemporanea, oltre alla continua parodia di opere letterarie e teatrali. Carroll, è questo il punto, non voleva rinunciare a dire la sua sul mondo dei “grandi”, ma voleva farlo “da bambino”, anzi da bambino che sogna, come dir e da bambino al quadrato. Ed essere bambino, per lui, significava innanzitutto non essere lì ma da un’altra parte, e poco importa che quest’altra parte fosse il sottosuolo o il paese delle meraviglie o il mondo dietro lo specchio. Coniglio bianco, dunque innocente, egli vuole essere inseguito e trovato da Alice, metafora semplicissima (e dunque ardua) per esprimere il proprio disperato bisogno di essere riconosciuto ed amato; a chi lo farà, in cambio, egli regalerà un intero universo fantastico, a partire dalla lingua. È questo il vantaggiosissimo patto che dopo un secolo e mezzo, miracolosamente, continua ad essere sottoscritto da ogni nuovo lettore.

Ci salverà la matematica

I numeri come strumento di libertà (e amore)

Cosa ci ha lasciato Alan Turing, oltre al computer

Luca Mastrantonio

"Corriere della Sera", 7 gennaio 2015

«Beh, il carattere di Alan Turing viene fuori un po’ troppo romanzato, ma il film mostra bene che la matematica può avere applicazioni pratiche in tempi rapidi». Andrea Malchiodi è appena uscito dalla sala del cinema di Brescia dove ha visto The Imitation Game, dedicato all’invenzione di Turing, una macchina da cui discenderà il computer, che permette agli alleati di decrittare il codice segreto dei nazisti.

Il professore di Analisi Matematica alla Normale di Pisa, parla lentamente. Alterna, staccate da un silenzio spesso, risposte brevi e molto lunghe. Sembra codice morse. Deve essere deformazione professionale. Uno degli ambiti di ricerca di Malchiodi è stato in parte inaugurato da Turing, la morfogenesi , cioè lo studio delle forme geometriche ricorrenti nelle fasi di formazione negli esseri viventi, come embrioni o piante, che prima sono sferici, o simmetrici, e poi diventano più complessi: «Turing era affascinato, ad esempio, dalla forma dell’ananas e dai semi di girasoli, con le loro doppie spirali».

Qual è la scena che le è più piaciuta del film? «Quando la telegrafista che collabora con Turing capisce che il telegrafista nemico ha una fidanzata, perché inserisce sempre una sequenza riconducibile a un nome di donna». Cosa le è piaciuto meno? «Alcuni aspetti caratteriali di Turing che qui sono troppo stressati: non credo fosse così asociale. Sì, aveva delle fissazioni, come molti matematici. Ne ricordo una che nel film non c’è: la catena della bici cadeva dopo un certo numero di pedalate, diciamo trenta. Lui non la riparava. Alla ventinovesima si fermava e assicurava la catena».

La morale del film è che la matematica, grazie a un genio eccentrico (poi perseguitato in patria per la sua omosessualità), ha salvato la libertà dai nazisti. «Churchill dice che con la macchina di Turing la durata della guerra si è accorciata, di almeno due anni. Plausibile».

La matematica ha una missione? «Certo — risponde Malchiodi — la matematica in fondo è trovare ordine, cioè ricorrenze e ripetizioni, dove gli altri vedono caos. Nel film questo c’è. Che dire: sarebbero utili finanziamenti come quelli di Churchill. E oggi in Italia siamo indietro; eppure per le tante ricadute pratiche ci sarebbe bisogno di un cambiamento». In quali settori? «Io sono un teorico. Ma sappiamo che la matematica permette di fornire modelli di lettura dei mercati finanziari o del volo degli uccelli». Qualcosa di più concreto? «Il comportamento dei liquidi, letture ecografiche mediche o della terra, per studiare conformazioni e possibili fenomeni idro-geologici. E poi farebbe sviluppare il settore tecnologico. Noi non siamo in guerra, ma a confronto serrato con Paesi molto più avanti di noi».

Come traduce, un matematico, la parola libertà? «La matematica è libertà. Di espressione. Per risolvere un problema ci si può sbizzarrire con nuovi metodi. Inventarne uno dà più soddisfazione che risolvere il problema, perché può aprire la strada ad altri problemi, altre soluzioni». Qualcosa di simile all’amore? «Sì. A vantaggio degli altri. E pure per sé, per l’ambizione di voler lasciare una traccia. La libertà d’espressione permette di fare delle scelte anche di stile. In questo la matematica è arte». Come la poesia? «Sì». Silenzio.

In cosa il personaggio interpretato da Benedict Cumberbatch corrisponde al Turing reale? «Nel carattere». Cioè? «La testardaggine. Si vede che Turing è ossessionato dal problema che deve risolvere, cioè ridurre le possibili combinazioni che i nazisti usano per crittare i loro messaggi. Lo fa perché c’è l’impellenza della guerra e per interesse personale per quel problema».

Un altra caratteristica dei matematici? «La distrazione. Perché si lavora con la testa, la soluzione può arrivare in qualsiasi momento, creando inconvenienti». Per esempio? «Non so, magari sono distrazioni comuni. Quando insegnavo in Inghilterra mi capitava di fare due volte lo stesso biglietto, o sbagliare aeroporto. Una volta in un bar ho pagato un caffè e il resto se l’è preso un mio collega. Però ci sono anche dei vantaggi». Quali? «Il conto al ristorante. I matematici sanno dividerlo in maniera equa, secondo quanto uno ha mangiato».

Numeri, alfabeto del mondo da Platone al bosone di Higgs

È così che si capiscono la natura, l’arte e il virtuale

Armando Torno

"Corriere della Sera", 18 giugno 2014

In un discorso amichevole con Guido Tonelli, fisico del Cern di Ginevra, uno dei protagonisti della scoperta del bosone di Higgs, ci siamo resi di nuovo conto che i numeri rimangono il linguaggio migliore per conoscere immediatamente chi siamo, dove andiamo e le nostre coordinate nello spazio e nel tempo. Ci confidava l’illustre scienziato: «Viviamo in un universo (per noi) molto grande che ha una dimensione di 10 alla 28 centimetri e che è piuttosto vecchio perché ha circa un’età di 13,8 miliardi di anni; è anche freddo, giacché ha soltanto una temperatura media di 3 gradi sopra lo zero assoluto. Della sua composizione sappiamo molto poco, dal momento che le nostre conoscenze si riferiscono a malapena al 5 per 100 dell’universo; il 27 per 100 è materia oscura (tiene insieme le galassie ma si ignora di cosa sia fatta), il 68 per 100 è ancora più misterioso perché è energia non nota che spinge tutto lontano da tutto e la cui origine è totalmente sconosciuta. Attraverso pochi numeri è possibile esprimere quello che si sa e quanto, per il momento, ignoriamo». 

Sono bastate alcune battute, o meglio poco più di sei cifre, per evocare a nostro giudizio quel che sosteneva l’astrofisico inglese Sir James H. Jeans nel suo fascinoso saggio The Mysterious Universe, pubblicato a Cambridge nel 1930: «Il Grande Architetto dell’Universo ora comincia ad essere considerato un puro matematico». D’altra parte, Platone non aveva asserito che «Dio geometrizza sempre»? Questo detto, tramandatoci da Plutarco nelle Questioni conviviali , possiamo anche considerarlo definitivo per esprimere l’importanza della matematica — e di quei suoi soldati che sono i numeri e gli elementi geometrici — nella cultura non soltanto occidentale. 

Già, la matematica. Non si può ignorare, né è possibile studiare filosofia senza tenerne conto; persino taluni argomenti religiosi chiedono di essere chiariti con il suo soccorso. Il primo pensatore occidentale, ovvero Talete, ha legato il nome a un teorema di geometria; Pitagora e la sua scuola hanno sostanzialmente divinizzato i numeri, ponendo i loro rapporti alla base della realtà e di quell’arte fugace (e allora divina) che è la musica. Del triangolo discussero i manichei, per i quali era immagine della Trinità divina, e sull’argomento intervenne Agostino per negare tale attribuzione. Ma già il filosofo platonico Senocrate (morto nel 314 a.C.) aveva considerato «divino» il triangolo equilatero e «demonico» quello isoscele; egli, comunque, non conosceva quanto aveva elaborato la Cabala ebraica nello Zohar , il Libro dello splendore : «In cielo gli occhi di Dio e la sua fronte costituiscono un triangolo, il cui riflesso forma un triangolo sulle acque». Il Sole, la Luna e Mercurio sono i simboli del triangolo alchemico. E, tra i mille fratelli geometrici che si potrebbero cercare in Cina o nel «Cuore di Hrungnir» (simbolo di epoca vichinga costituito da tre triangoli intrecciati), quello rettangolo fa ritornare a Pitagora e forse all’antico Egitto tra piramidi e misteri, a quel teorema che si sconta sui banchi di scuola. A proposito del quale Arthur Koestler ne I sonnambuli (tradotto da Jaca Book) commentava, evidenziando i rapporti tra i cateti e l’ipotenusa: «Fra la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo non sussiste alcun rapporto evidente; se però costruiamo un quadrato su ogni lato, la superficie dei due quadrati più piccoli corrisponde esattamente alla superficie del quadrato maggiore. Se leggi così mirabilmente ordinate e finora celate all’occhio umano potevano essere scoperte sprofondandosi nelle strutture costitutive dei numeri, non c’era forse la fondata speranza che tutti i segreti dell’universo sarebbero stati presto rivelati attraverso gli elementi del numero?». 

La matematica non è noiosa, né fredda, né va confusa con gli esercizi che per alcuni anni della vita siamo costretti a risolvere incalzati dalla minaccia dei brutti voti. Non è soltanto calcolo; nemmeno va considerata una «scienza esatta», come amano ripetere i tecnici che la utilizzano per far quadrare le costruzioni di ponti e strade. Ma senza di essa cadrebbero le spiegazioni che tentiamo di dare, per esempio, all’universo di Leonardo, che la utilizzò anche per l’Ultima Cena, collocando apostoli e Gesù in punti topici di figure geometriche; ignorandola non potremmo capire le dimensioni virtuali che abitiamo con sempre più frequenza, grazie a Internet. La corrente formalistica affermò che la matematica è «la scienza del possibile» (per «possibile» va inteso quanto non implica contraddizione) e, se così fosse, questa disciplina non sarebbe parte della logica, né la presupporrebbe. Codesta concezione, sviluppata da Hilbert e dalla sua scuola negli anni Venti del Novecento, sostiene che la matematica si possa costruire come un semplice calcolo, senza altre interpretazioni. 

Mai è mancata nei pensieri dei sommi dell’umanità, anzi a volte ha occupato gran parte della loro vita. Da Aristotele ad Einstein, da Newton a Galileo, da Pascal che vi rinunciò per darsi alla teologia a Gauss che desiderava convincere lo zar a tagliare in forme geometriche le foreste della Siberia per lanciare messaggi nell’universo, questa scienza è stata un riferimento indispensabile. Kant la studia, ne tratta in vari scritti e ne lascia una vera e propria filosofia nella Critica della ragion pura . Leibniz è anche un grande matematico oltre che un pensatore di rilievo. Persino Boezio, l’ultima mente speculativa dell’antichità latina, scrive opere di aritmetica e geometria; lo stesso Agostino non riesce a ignorarla e lo si deduce dalle preoccupazioni che gli giungono da taluni riflessi diffusi dagli scritti di Nicomaco di Gerasa, un tardo pitagorico che tra l’altro si interroga sul significato dei numeri primi e di quelli perfetti. 

La letteratura degna di memoria la interroga, con essa riflette. Borges chiama i numeri transfiniti di Georg Cantor (estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale dell’aritmetica) «i vasti numeri che un uomo immortale non raggiungerebbe neppure se consumasse la sua eternità contando». Gadda, ingegnere, definisce l’ora «l’integrale dei fuggenti attimi». I teoremi di Euclide entrano nelle similitudini di Dante: «o se del mezzo cerchio far si puote/ triangol sì ch’un retto non avesse» (Paradiso XIII, 101-2). È appunto la proposizione che si legge nel libro terzo degli Elementi : «In un cerchio l’angolo (alla circonferenza inscritto) nel semicerchio è retto». 

Materia che sarà ancora discussa ne I Fratelli Karamazov di Dostoevskij: il sommo russo, conoscendo la rivoluzione portata dal «Copernico della geometria», ovvero Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, ritorna lì angosciato ponendosi quesiti sulla natura euclidea o meno del mondo. Ivan confessa ad Alioša: «Ti dichiaro che accetto Dio, puramente e semplicemente. Ecco però quel che bisogna notare: se Dio esiste e se in realtà ha creato la terra, l’ha creata come ci è perfettamente noto, secondo la geometria euclidea, e ha creato lo spirito umano dandogli soltanto la nozione delle tre dimensioni dello spazio». 

Anche in tal caso il discorso diventa infinito, ovvero assume caratteristiche che hanno bisogno a loro volta della matematica per essere spiegate. Chiudiamo questi brevi cenni con una considerazione di Robert Musil, scritta ne L’uomo senza qualità (citiamo dall’edizione Einaudi, tradotta da Anita Rho): «Quasi tutti gli uomini oggi si rendono ben conto che la matematica è entrata come un demone in tutte le applicazioni della vita. Forse non tutti credono alla storia del diavolo a cui si può vendere l’anima, ma quelli che di anima devono intendersene, perché in qualità di preti, storici e artisti ne traggono lauti guadagni, attestano che essa è stata rovinata dalla matematica, e che la matematica è l’origine di un perfido raziocinio che fa, sì, dell’uomo il padrone del mondo, ma lo schiavo della macchina». Cattivo? No, semplicemente attuale.

Il fascino eterno della sezione aurea che colpisce anche i graphic designer

Dalla matematica ai grandi artisti il rettangolo “magico” che definisce le forme perfette La divina proporzione

Piergiorgio Odifreddi

“la Repubblica“, 6 marzo 2014

La “sezione aurea” ha colpito ancora. L’editore inglese GraphicDesign& ha infatti appena pubblicato un libro intitolato Golden Meaning che contiene, come annuncia il sottotitolo, “55 esperimenti grafici” da parte di altrettanti top designer mondiali. Essi effettuano le loro variazioni sul tema aureo del numero più famoso e chiacchierato della storia: quello chiamato appunto “sezione aurea” o “divina proporzione”, e di cui la copertina del libro ricorda e riporta le prime cifre decimali, cioè 1,618.

Il formato delle pagine dell’opera è lo stesso già usato da Piero della Francesca nella Flagellazione di Cristo, le cui due scene illustrano la proprietà caratteristica del cosiddetto “rettangolo aureo”: il fatto che, togliendo il quadrato costruito sul lato minore, rimane un rettangolo che è simile a quello di partenza. Nel libro, due pagine riportano la scritta «la sezione aurea è una cassetta degli attrezzi per i caratteri tipografici», composta doverosamente con caratteri costruiti a partire da rettangoli aurei di varie dimensioni, alla maniera delle scritte digitali.

Poiché il rettangolino che si ottiene da un rettangolo aureo per sottrazione del quadrato è anch’esso aureo, gli si può a sua volta sottrarre il quadratino costruito sul suo lato minore, e così via, innescando un inarrestabile processo, che costituisce una delle prime immagini storiche dell’infinito. Inserendo dei quarti di cerchio nei vari quadrati, via via sottratti ai vari rettangoli, si ottengono poi delle “spirali auree”. E l’immagine più geniale del libro è forse un “sedere d’oro”, le cui due natiche sono semplicemente due spirali auree accostate fra loro, perfette a un grado che può solo essere sognato da attrici e modelle.

Altre immagini rappresentano bottiglie, bicchieri, termometri e altri oggetti, nei quali il contenuto è in proporzione aurea con il vuoto rimanente. Altre ancora riformattano oggetti di uso comune in modo da far loro assumere proporzioni auree. E una pagina rappresenta gli immancabili conigli, che ricordano il fatto che la sezione aurea è approssimata dal rapporto fra due qualunque termini successivi della famosa “successione di Fibonacci”. Questa prende il nome da Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, che la pubblicò nel 1202 nel suo Libro dell’abaco, appunto come soluzione di un problema relativo alla riproduzione dei conigli.

La successione parte da 0 e 1, e a ogni passo procede sommando i due numeri precedenti: la sequenza continua dunque con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, eccetera, il che spiega il motivo della scelta delle 55 variazioni effettuate dai 55 designer. Conigli a parte, le apparizioni, spesso inaspettate e insospettate, della sequenza di Fibonacci in natura sono talmente ubique, da riempire da anni i numeri della rivista quadrimestrale The Fibonacci Quaterly.

E altrettanto vale per le manifestazioni della sezione aurea, descritte nei classici Crescita e forma di D’Arcy Thompson e Le curve della vita di Theodore Cook, e compendiate più recentemente da La sezione aurea di Mario Livio.

L’attrazione estetica della sezione aurea è rimasta immutata nei secoli. Il primo campo in cui essa si è manifestata è stata la matematica: dagli Elementi di Euclide alla Divina proporzione di Luca Pacioli, gli addetti ai lavori si sono estasiati di fronte alla bellezza delle figure e dei solidi in cui essa compare.

Il “poligono aureo” per eccellenza è il pentagono, le cui diagonali stanno in rapporto aureo con i lati, e formano una figura nota come “stella pitagorica”. E un’altra immagine dell’infinito, ancora più evidente di quella telescopica dei rettangoli aurei, si ottiene notando che i lati della stella pitagorica formano al centro una figura che non è altro che un nuovo pentagono regolare, dentro al quale si può costruire un’altra stella pitagorica, e così via. La successione telescopica alternata di pentagoni e stelle, simile a un esercito senza fine di bambole russe contenute una nell’altra, suggerisce che la diagonale e il lato del pentagono siano grandezze fra loro incommensurabili.

Pochi simboli hanno avuto, nella storia, il potere d’attrazione della stella pitagorica a cinque punte. In Italia oggi noi l’associamo automaticamente alle Brigate Rosse, ma il suo utilizzo rivoluzionario ha radici lontane: essa non è infatti altro che la famosa Stella rossa sulla Cina dell’omonimo libro di Edgar Snow, ed è stata adottata in periodi diversi dall’Armata Rossa, dalle Brigate Garibaldi, dai Vietcong e dai Tupamaros.

Leggendo le loro memorie, si scopre che i primi brigatisti non riuscivano mai a disegnarla bene: veniva sempre un po’ squilibrata verso l’alto, quando addirittura non ci scappava una stella di David a sei punte, come in un sequestro compiuto da Mario Moretti. Perché la costruzione di un pentagono regolare non è immediata come quella di un triangolo, un quadrato o un esagono regolari, e coinvolge, implicitamente o esplicitamente, la “divisione aurea” di un segmento.

Quanto ai “solidi aurei”, i due più noti sono il dodecaedro e l’icosaedro. Il primo si ottiene mettendo insieme dodici facce pentagonali. E il secondo si può costruire congiungendo i dodici vertici di tre rettangoli aurei (o di tre carte di credito, meglio se scadute) incastrati perpendicolarmente fra loro. Questi oggetti hanno affascinato non soltanto i matematici, ma anche gli artisti, da Leonardo a Dalí.

Le illustrazioni del primo per il libro di Luca Pacioli hanno fatto storia, nelle loro versioni piene e vacue. E nei Cinquanta segreti dell’artigianato magico il secondo ha discusso non soltanto i disegni di Leonardo, ma anche il proprio personale uso della stella pitagorica nell’impianto della Leda atomica, e del dodecaedro nella struttura de L’ultima cena.

Se in pittura la sezione aurea si presenta come paradigma di proporzione estetica, non stupisce ritrovarla anche in scultura e architettura, da Fidia a Le Corbusier. Addirittura, spesso il rapporto numerico tra diagonale e lato del pentagono viene appunto indicato con Phi, in onore del primo, oltre che di Fibonacci. Quanto al secondo, il suo Modulor prende significativamente il nome da “module d’or”, e utilizza la sezione aurea per determinare due serie, una rossa e una blu, di dimensioni armoniche a misura d’uomo, da utilizzare nella progettazione non solo degli edifici, ma anche dei mobili e degli oggetti di casa.

Anche in musica la sezione aurea ha giocato un certo ruolo, da Bach a Béla Bartók. Il primo popolarizzò nei 48 preludi e fughe del Clavicembalo ben temperato il sistema di temperamento equabile tuttora in uso, che consiste nella divisione dell’ottava in dodici semitoni uguali fra loro, e matematicamente corrisponde a una “spirale aurea”. Il secondo invece era così affascinato dalla sezione aurea, che la usò ripetutamente per equilibrare le parti della Musica per archi, percussioni e celesta e della Sonata per due pianoforti e percussioni.

Naturalmente, i roboanti aggettivi usati al riguardo suggeriscono che nella sezione aurea sia coinvolto qualcosa di sublimemente estetico, e infatti così pensavano i pitagorici che la scoprirono, due millenni e mezzo fa. Cosa ci sia di divino, o di aureo, nella stella pitagorica, è difficile da intuire a prima vista: certo non il fatto che essa, avendo tante punte quante sono le lettere del nome Jesus, possa impaurire il demonio, come succede a Mefistofele nel Faust di Goethe.

Ma una volta che si impari ad apprezzare l’equilibrio di questo rapporto, si scoperchia una vera cornucopia. E si comincia a dubitare pitagoricamente che si tratti forse dell’unico essere per il quale l’aggettivo “divino” non suoni ridicolo o sacrilego, e cioè un numero.

La matematica non è un gioco (ma quasi)

7.800 voci per imparare ad amarla

La prima Garzantina su aritmetica, geometria, logica e oltre

Undici anni di lavoro per riconciliarci con una «lingua» che parla una infinità di dialetti

Armando Torno

“Corriere della Sera - La Lettura“, 1 dicembre 2013

La matematica ama la carta. Non si scandalizzino i benpensanti del digitale per questa affermazione, ma l’universo di segni, numeri, concetti, spazi, realtà e idee che in genere chiamiamo matematica bisticcia facilmente con i sistemi di scrittura dei computer, soprattutto quando tendono a modificare. Per esprimere un concetto elementare su due insiemi come questo: A è contenuto in B, si usa una C schiacciata e non tutti i programmi sono preparati a rispettarlo. Oppure provate a scrivere «ogni» come fanno algebristi o logici: è una A rovesciata e se non disponete del software adatto chissà cosa risulterà sullo schermo. E il simbolo degli integrali? Bisogna averlo. È una S settecentesca allungata (indicava e indica una somma) ed è più facile ottenerla da un tipografo che da un esperto di informatica. 

Per questo salutiamo con gioia un’enciclopedia cartacea coordinata da Mauro Palma e Walter Maraschini — diciotto collaboratori, piano di lavoro che risale a undici anni fa, di cui gli ultimi cinque intensissimi — ovvero la Garzantina dedicata alla matematica (uscirà giovedì prossimo, 5 dicembre). A una disciplina libera come il vento dinanzi alle scritture, sfuggente o, come usa dire, difficile da lemmatizzare. La matematica parla infiniti dialetti: l’esperto di geometria definisce la medesima cosa in termini diversi da un analista e un logico arriccia sovente il naso quando dialoga con un meccanico razionale; un topologo può accapigliarsi con un esperto di teoria dei giochi, perché non guardano con i medesimi occhi la stessa cosa. C’è inoltre una grande area, che è la matematica del discreto (la figlia e la genitrice al tempo stesso, come in una tragedia greca, dei computer) che in qualche modo rilegge trasversalmente i concetti riformulandoli. L’organizzazione di codesto universo è impresa tra le più ardue. 

La G arzantina di matematica colma una lacuna: un’enciclopedia italiana con tali caratteristiche non c’era; certo, qualcosa fu tradotto, ma non di tale portata. Di più: ci confidava Mauro Palma che desidera essere un tentativo «per riconciliare il nostro amore infantile con questa disciplina e i concetti che la caratterizzano». Parole che si spiegano ricordando semplicemente che alle elementari è una materia in genere amata e con essa si gioca, alle scuole medie — tranne le eccezioni e qualche «secchione» — si comincia a guardarla con diffidenza, al liceo gli esercizi sono peggio degli amori mal riusciti e avvertiamo che essa non interagisce più con la vita. «Riconciliare», tra l’altro, è un verbo che piaceva molto all’algebrista e didatta Lucio Lombardo Radice, del quale Palma e Maraschini furono allievi. 

Inoltre, i coordinatori hanno cercato di non rendere gioco quello che di solito è disciplina: la matematica non è stata ideata per divertirsi o per stupire, ma per pensare come in filosofia; e anche la teoria dei giochi non c’entra con quelli di società, con i casinò o con le sale piene di slot machine care ai governi italiani. Questa Garzantina cerca di presentare tale materia come prodotto culturale. Vi trovate, tra le numerosissime, notizie riguardanti Girolamo Cardano matematico: anche se «rubò» la soluzione delle equazioni cubiche scrisse il De ludo aleae (1560), il libro sul gioco dei dadi, tra i primi testi che analizzarono in modo sistematico la teoria della probabilità. Oppure ecco informazioni su Hans Moravec (nato nel 1948), uno dei padri della robotica: ha preconizzato, nel 2050, il superamento da parte delle macchine delle abilità cognitive umane.

Ovviamente non troverete in questa Garzantina la totalità della matematica, ché le 7.800 voci (pur con quattro appendici dedicate a storia, giochi, tavole e premi) sono necessariamente una selezione. Possiamo notare che c’è attenzione per la logica e che nell’essenzialità ci sono ricchissime indicazioni. Un esempio: delle opere sulle coniche di Apollonio di Perge, morto intorno al 180 a.C., si ricorda che ci restano quattro libri in greco e tre solo in traduzioni arabe. Non c’è una bibliografia, ma chi lo desiderasse può ritrovare la recente pubblicazione di questi scritti nell’edizione critica uscita in Germania da Walter de Gruyter, a cura di Roshdi Rashed (professore onorario a Tokyo ed emerito all’Università di Mansoura, attivo a Parigi). Oppure il non specialista può capire cosa sia una funzione meromorfa, come sia possibile rappresentarla quale quoziente di due funzioni trascendenti intere. In questa pagina si danno tre estratti: voci dedicate al mondo antico (Pitagora), a quello contemporaneo (Gödel) e a un argomento trasversale (infinito). 

Oggi non si può ignorare il ruolo della matematica, soprattutto perché numeri e grafici sono presenti nella nostra vita più che in ogni epoca precedente. L’informatizzazione fa continuamente inciampare in essa. E non si preoccupino coloro che si chiedono a cosa serve: si può rispondere «a nulla». Perché la matematica non è una serva. 

Un numero svelerà i misteri del cosmo.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… il segreto (inviolato) di queste cifre vale milioni: 

una proprietà che protegge tra l’altro i codici delle banche. 

Ecco cosa succede nel mondo scientifico

Giulio Giorello

La Lettura - Corriere della Sera, 4 agosto 2013

Nella repubblica dei numeri (interi) ce ne sono alcuni «un po’ più uguali degli altri»: godono di proprietà che ne fanno una sorta di Stato nello Stato. Sono i numeri primi, quelli che sono divisibili soltanto per se stessi e per l’unità (ovvero, non possono essere ottenuti moltiplicando due numeri più piccoli): oltre ovviamente all’unità, tali sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, eccetera. Ma quanto possiamo spingerci avanti in questa lista? Già Euclide, nei suoi Elementi (Libro IX, Proposizione XX), aveva dimostrato che di numeri primi ce n’è un’infinità. E i matematici avevano imparato a sfruttare il fatto che ogni altro numero può venire espresso in modo essenzialmente unico come prodotto di primi, anche se questo «teorema fondamentale dell’aritmetica» compare esplicitamente soltanto nelle Disquisitiones Arithmeticae (1801) di Carl Friedrich Gauss, quando questo «principe dei matematici» dichiarava che esso andava dimostrato «per la dignità della scienza in sé». Oggi la difficoltà di trovare in tempi brevi i fattori primi di un numero intero sufficientemente grande assicura l’impenetrabilità dei codici crittografici che utilizziamo per proteggere alcuni dei nostri segreti più cari (a cominciare da quelli bancari).

I numeri primi creano problemi già con le somme. Nel 1742 Christian Goldbach sottoponeva al grandissimo Leonhard Euler l’ipotesi che ogni intero pari maggiore di 2 fosse esprimibile come la somma di due numeri primi. «Semplice, no?», direbbe Pippo. Ma su questa «congettura di Goldbach» si rompono ancora la testa i matematici di oggi. Aveva notato nel Novecento il britannico Godfrey Harold Hardy che il travaglio dei matematici in futuro non sarebbe mai venuto meno: «Ogni sciocco può porre questioni sui numeri primi alle quali il più saggio degli uomini non sa rispondere ». Due secoli prima il citato Euler, constatando la difficoltà di trovare «un qualche ordine nella successione dei numeri primi», concludeva che forse era «un enigma che la mente umana non sarebbe mai riuscita a penetrare». Eppure doveva compiere non poche incursioni nello Stato dei numeri primi, fornendo tra l’altro una nuova e ingegnosa dimostrazione della loro infinità. È in questo contesto che escogita una funzione che successivamente (1859) sarebbe stata battezzata «funzione zeta» da Bernhard Riemann. Quest’ultimo formulò una particolare ipotesi sul comportamento della funzione zeta, la cui soluzione avrebbe comportato la completa decifrazione di quell’ordine che Euler riteneva così sfuggente. Anche se negli ultimi centocinquant’anni sono stati ottenuti numerosi e importanti risultati parziali sul problema dei primi, l’ipotesi di Riemann rappresenta ancor oggi la sfida per eccellenza al talento dei matematici. Nel 1900 il tedesco David Hilbert, al Congresso Internazionale di Parigi, auspicava che in pochi anni gli sforzi congiunti della comunità scientifica ne sarebbero comunque venuti a capo nel tempo medio di una vita umana. Un secolo più tardi, l’italiano Enrico Bombieri dichiarava, con un’ironia diretta anche contro se stesso, che gli specialisti di teoria dei numeri dovrebbero vergognarsi perché hanno miseramente fallito! E l’ipotesi di Riemann ricompare nella lista dei sette «Problemi del Millennio» per ciascuno dei quali il Clay Mathematical Institute ha messo in palio un premio di un milione di dollari. Com’è noto, non c’è un Nobel per i matematici; ma essi possono sempre cullarsi nella speranza di vincere il Premio Clay, rispetto al quale impallidiscono i dollari della Medaglia Fields, che viene assegnata ogni quattro anni ai migliori matematici — ma alla condizione imprescindibile che non si siano superati i quarant’anni — e consta solo di diecimila dollari (nel 1974 è stata vinta da Bombieri appunto per i suoi risultati in teoria dei numeri).

Come diceva Hilbert, i problemi più significativi sono come ponti che collegano discipline matematiche apparentemente lontane fra loro. Inoltre, non ci sono solo le questioni di un’aritmetica ingannevolmente semplice, ma sfide lanciate da geometria, topologia, analisi, eccetera, per non dire di quelle che emergono dalla fisica matematica. Nella Medaglia Fields, accanto all’effigie del grande Archimede, è inciso un detto amato da colui che aveva ideato e organizzato il riconoscimento (John Charles Fields, 1936): «Trascendere le limitazioni umane e padroneggiare l’Universo». Non sono dunque questioni solo di soldi, ma di potere. Però, la matematica ci dà una lezione a un tempo di audacia e di modestia. Datemi un algoritmo e vi solleverò il mondo, potrebbe dire un Archimede del XXI secolo. Ma un conto è sapere che la soluzione di un problema esiste, un altro saperla calcolare in un numero finito di passi, un altro ancora che il trovarla superi enormemente la brevità della vita umana, anche se s’impiega il calcolatore più veloce del mondo.

Se usiamo la nostra carta di credito su Internet, procediamo in relativa sicurezza perché sappiamo che un eventuale malintenzionato, deciso a carpirci il numero e il Pin della carta, difficilmente riuscirà a mettere in atto questa delittuosa intenzione, in quanto dovrebbe impiegare un lunghissimo periodo di «tempo macchina» per violare il codice con cui tali informazioni sono criptate. Tecnicamente, i problemi più facilmente trattabili sono detti problemi «Polinomiali», ovvero di classe P. Ma, agli inizi degli anni Settanta del secolo scorso, Steven Cook, Richard Karp e Leonid Levin hanno definito un’ulteriore classe di problemi noti come «problemi NP» (Nondeterministic Polynomial time).

Questa nozione non è facilmente spiegabile sulle pagine di un giornale; basterà dire che un problema NP è «quasi» trattabile come un problema P. La differenza è che un problema P ammette un metodo abbastanza rapido per trovare una soluzione; invece, per stare nella classe NP, un problema deve richiedere un tempo «rapido» per verificare che una pretesa soluzione sia quella giusta. Così, verificare una scomposizione di un numero intero, magari piuttosto grande, in fattori richiede conti che qualsiasi studente delle medie dovrebbe saper fare; invece, trovarne la scomposizione per esempio in fattori primi esige la potenza di un grande intelletto matematico o di un supercomputer, e si ritiene che sia un compito NP. Se si riuscisse a dimostrare che le classi NP e P coincidono, forse saremmo veramente i padroni dell’Universo, o almeno di una sua qualche traduzione in numeri. È un ottimismo, però, non condiviso da molti logici, matematici e informatici, che da quarant’anni si stanno arrovellando sul problema formulato da Cook, Karp e Levin (i primi due insigniti del prestigioso Premio Turing nei primi anni Ottanta; il terzo messo in galera come dissidente nell’ormai morente Urss).

Lo stesso occuparsi del problema, qualunque sia l’esito, è già una conquista, e un eventuale scacco nel ridurre la classe NP alla classe P genererà una ridda di nuove questioni, che funzioneranno più che come ponti e sentieri, da grandiose autostrade per esplorare inediti paesaggi della matematica e delle sue applicazioni. Il maestro dell’algebra al-Khwarizmi (780-850) ringraziava Allah «per il dono dei numeri», pur con tutti gli enigmi con cui si intreccia la loro lunga storia. Senza osare pronunciarci sulle recondite intenzioni dell’Onnipotente, «clemente e misericordioso», possiamo concludere con un verso di un poeta cinese dell’epoca T’ang: «Nel segreto sempre risplende il bianco sole». Ovvero, ogni problema contribuisce allo splendore dell’intelligenza.

Il matematico scambiato per spia

La vita di André Weil, fratello della filosofa Simone, tra guerra e studi avanzati 

Rischiò la pena capitale in Finlandia, espatriò in America.

Giulio Giorello 

Corriere della Sera, 30 luglio 2013

Una sera del dicembre 1939, in una cena a Helsinki - quando ormai la Finlandia era stata aggre- dita dalle truppe di Stalin -, a Rolf Nevanlinna, prestigioso matematico del Paese, il capo della polizia aveva confidato: «Domani fuciliamo una spia che pretende di conoscerla!». Si trattava, in realtà, di un giovane prodigio della matematica francese, André Weil, che «per semplificare le cose» si faceva passare per obiettore di coscienza. Era stato sorpreso mentre si aggirava vicino alle postazioni antiaeree che proteggevano la capitale dalle bombe sovietiche: questo comportamento dì un miope un po` curioso era stato sufficiente per spedirlo in questura. Nella perquisizione del suo alloggio furono rinvenute fra l`altro una lettera in russo del matematico Pontryagin e «un pacchetto di biglietti da visita di tal Nicolas Bourbaki, membro dell`Accademia Reale di Poldevia». Bastarono a bollarlo come agente del nemico. Alla fine le autorità finlandesi si erano convinte che i simboli delle note manoscritte riguardavano non informazioni militari ma strutture di quella che era nota allora come algebra astratta. Weil fu espulso dal Paese: dopo varie peripezie si sarebbe ritrovato in Francia, imputato di renitenza alla leva. Processato e condannato (maggio 1940), doveva optare per l`immediata richiesta di andare al fronte come sconto di pena; avrebbe assistito alla disfatta sotto l`urto delle truppe hitleriane, per finire «ospite» di un campo di accoglienza in Gran Bretagna. Tale «balletto buffo» è raccontato con disincantata ironia nei Ricordi di apprendistato di questo grande intellettuale, libro del 1991 che ora Castelvecchi ripropone in una versione riveduta e corretta. Claudio Bartocci, curatore e traduttore, ha interessanti ricordi del suo rapporto con Weil ai tempi in cui preparava l`edizione pubblicata da Einaudi nel 1994. Per esempio, André ricorda nel suo libro che il giorno del processo era stato rimesso a nuovo da un barbiere di origine italiana «che gestiva un casino a Rouen». Almeno, così pareva al traduttore, anche se Weil aveva caparbiamente insistito che il più letterale bordello avrebbe fatto miglior figura!

Tale spirito puntiglioso era tipico di questo scarnificatore di problemi, per cui la buona matematica consiste nell`arte di levare il superfluo senza lasciar spazio all`imprecisione e di dare peso anche ai più minuti particolari. A guerra finita, dopo un periplo che l`aveva portato dagli Usa al Brasile, doveva stabilirsi (1958) all`Institute for Advanced Study di Princeton. La sua opera matematica ha spaziato nei campi più diversi, dalla geometria algebrica alla teoria dei numeri, e ha influenzato settori avanzati della ricerca fisica come l`elettrodinamica quantistica e la teoria delle stringhe.

Quest`autobiografia si chiude con la bomba di Hiroshima (agosto 1945) ed è anche una testimonianza della «crisi delle scienze europee» di fronte all`emergere dei totalitarismi. André era nato a Parigi nel 1906, figlio di un medico di origini ebraiche (l`alsaziano Bernard Weil) e della russo-belga Selma Reinherz; era il fratello maggiore di quella Simone che doveva rappresentare una delle più luminose meteore del cielo filosofico del Novecento. Scherzando «kantianamente», lui la, chiamava «stupefacente Fenomeno»; e lei gli ribatteva battezzandolo «Noumeno». Ma forse era il contrario: Simone sarebbe stata stroncata nel 1943 dalle privazioni che aveva affrontato nel condividere incondizionatamente le sofferenze altrui; André si sentiva poco a suo agio col rigorismo estremo della sorella. Il suo rifugio restava l`adamantina bellezza della matematica, dove - come in una sinfonia - talvolta «riusciamo a intravedere un universo sconosciuto, che solo di soppiatto siamo ammessi ad ascoltare». Si è spento a Princeton nel 1998.

Il suo nome è anche legato a una delle più straordinarie imprese collettive della matematica del Novecento: il tentativo di riscrivere gli Elementi di questa disciplina, un po` come aveva fatto Euclide con la geometria greca. Lui e altri «giovani turchi» avevano deciso di coprire questa monumentale impresa, che si sarebbe protratta per decenni, sotto lo pseudonimo di Nicolas Bourbaki, rampollo della «sventurata nazione poldeva» (ma anche la Poldevia era un`invenzione). In Finlandia questo gioco aveva fatto rischiare la pelle a Weil; dopotutto ne era valsa la pena. Il suo «apprendistato» ha cambiato il modo di intendere l`avventura della conoscenza: «La matematica non è che uno degli specchi in cui la verità si riflette, forse con più purezza che non in altri», leggiamo in questo libro. I filosofi dovrebbero tenerne conto.

Simon Norton, il matematico in cantina. Quelle strane abitudini di un genio dei numeri

La biografia di Simon Norton autore di scoperte decisive 

e inventore degli “scacchi” a tre giocatori

Piergiorgio Odifreddi

"La Repubblica",  26 giugno 2013

Se uno vuole giocare a scacchi su una sola scacchiera, può farlo solo con un altro giocatore per volta. Lo sanno tutti, eccetto coloro che, non adattandosi all’evidenza dei fatti e alla necessità delle cose, decidono di inventare una versione degli scacchi a tre giocatori. E per farlo, concepiscono una scacchiera a caselle romboidali di tre colori, adattano opportunamente i pezzi e le regole di mossa e di cattura, e incominciano a divertirsi con un nuovo tipo di scacchi a tre giocatori, invece che a due.

Questa capacità di “cambiare le regole del gioco” è uno dei modi in cui si estrinseca la creatività, fino ai limiti estremi della genialità. Nel caso degli scacchi ci si cimentò persino Bobby Fisher, che pure non giocava male alla versione usuale. Egli propose infatti una nuova versione del gioco, oggi chiamata appunto “scacchi di Fisher”, che mantiene la scacchiera, i pezzi e le regole solite: come unica eccezione, si dispongono agli inizi i pezzi in maniera casuale, sulle prime due righe, invece che nella maniera normale.

Fisher era certamente un genio, con tutti i vantaggi e gli svantaggi che questo comporta. E lo è anche l’inventore degli scacchi a tre giocatori: il matematico inglese Simon Norton, di cui è appena uscita la biografia Un genio nello scantinato di Alexander Masters (Adelphi). Naturalmente, uno degli svantaggi che il genio comporta è di essere e rimanere “incompreso” dalle persone comuni: in particolare, da coloro che ne scrivono le biografie senza essere all’altezza delle vette che vogliono scalare. E il rischio esiste per il biografo di qualunque genio: se non altro, perché in genere gli altri geni si dedicano alle proprie attività, e non alla scrittura delle biografie dei loro rivali in genialità.

Per fare un esempio concreto, ogni volta che si parla di un altro genio della matematica, l’indiano Srinavasa Ramanujan, tutti raccontano questo famoso aneddoto, che viene ripetuto anche dal biografo di Norton. Un giorno che era ammalato, l’indiano ricevette una visita del matematico inglese Godfrey Hardy, che gli disse di essere arrivato con un taxi dal numero poco interessante: 1729. Ramanujan rispose immediatamente che invece si trattava di un numero molto interessante, essendo il primo che si può scrivere in due modi diversi come somma di due cubi: rispettivamente, 12 al cubo (1728) più 1 al cubo (1), oppure 9 al cubo (729) più 10 al cubo (1000). Stupore generale, soprattutto dei biografi! I quali non sanno, e se lo sanno (come Hardy) non lo dicono, che qualunque studioso dei numeri degno di questo nome, e soprattutto uno sommo come Ramanujan, poteva non metterci molto a fare questa associazione. I cubi di 9 e di 12 si imparano infatti già alle elementari, e i teorici dei numeri non li dimenticano, anche perché li usano spesso. I cubi di 1 e di 10 sono invece delle banalità, anche per i non addetti ai lavori. Dunque, la cosa non è così sorprendente come può apparire a prima vista. E non è un caso che sia proprio il 1729 a ricomparire nelle gesta di un altro genio dello scorso secolo: il fisico Richard Feynman, che nella sua autoagiografia Sta scherzando, Mr. Feynman! (Zanichelli, 2007) racconta un episodio che gli successe in una bettola brasiliana, quando un avventore che non sapeva con chi aveva a che fare lo sfidò a fare radici cubiche, e “per combinazione” gli propose quel numero come test.

È chiaro comunque che, poiché anche piccole osservazioni matematiche come queste possono risultare presto eccessive per un lettore generico, di libri o di giornali, le biografie dei geni non vanno molto oltre aneddoti come quelli citati. Col risultato, com’è appunto il caso di Un genio nello scantinato, di concentrarsi soltanto sugli aspetti più folcloristici della vita di una mente eccelsa, all’insegna del benevolo motto “genio e sregolatezza”, o del più crudo “genio e follia”. Il più noto esempio recente di questa banalizzazione dell’intelletto a favore dell’eccentricità è sicuramente il film A beautiful mind, che narra la tragica storia del matematico John Nash. Romanzando la sua schizofrenia, fino al punto di inventarsi allucinazioni visive che egli non ha mai avuto. Ma lasciando lo spettatore nel dubbio atroce di cosa mai egli abbia potuto fare per mancare di un soffio la medaglia Fields per la matematica, nel 1958, e vincere un premio Nobel per l’economia, nel 1994. La biografia di Simon Norton prosegue in questa scia, dettagliando fino alla nausea caratteri secondari quali la sua trasandatezza e il suo disordine, o abitudini balzane quali le sue continue peregrinazioni sugli autobus, ma lascia il lettore nell’altrettanto atroce dubbio di cosa mai egli fatto in matematica, per meritarsi l’onore di una biografia. E cerca di distrarre da questa mancanza con impaginazioni “creative”: come alle pagine 152-153, che contengono solo la parola “cavolo” in varie dimensioni e caratteri. O con sospette rivendicazioni, quali: «la biografia è il modo in cui l’autore sceglie di rappresentare quelli che per lui sono i fatti», e «riguarda talmente poco il soggetto, che è meglio fingere che esso non esista e inventare le sue risposte ». Forse per ingenuità, Masters infarcisce il racconto con le giustificate proteste del matematico, che non riconoscendosi nelle descrizioni si lamenta dicendogli: «se posso accettare il concetto di licenza d’autore, non vedo alcun motivo valido per molti degli errori fattuali che hai inserito». O: «sarebbe meglio se i lettori potessero acquisire un minimo di informazioni utili dal tuo libro ».

Ciò che emerge dalle nebbie di questa caricaturale invenzione letteraria è che Simon Norton è stato un bambino prodigio, il cui primo ricordo riguarda il calcolo delle potenza di 2 fino alla trentesima: che, per la cronaca, è 1.073.741.824. Benché l’autore dichiari che per lui «dai dodici anni in su Simon è incomprensibile», il bello viene ovviamente dopo. Anzitutto alle superiori, a Eton, quando Norton vinse per tre volte consecutive la medaglia d’oro alle Olimpiadi di matematica, stabilendo una volta il record assoluto del punteggio pieno e senza errori. O all’università, a Cambridge, dove egli entrò con vari anni di anticipo rispetto alla norma. Ma soprattutto da ricercatore, quando insieme all’altro genio John Conway studiò le proprietà di un oggetto matematico singolare, chiamato non a caso “il mostro”: un insieme di circa 10 alla 54 elementi, con un’operazione definita da una tabella avente altrettante righe e colonne, e rappresentabile in uno spazio a 196.883 dimensioni. Una congettura a proposito di questo oggetto, enunciata da Conway e Norton, fu dimostrata nel 1992 da Richard Borcherds, in un lavoro che gli valse la medaglia Fields nel 1998.

Di tutto questo Un genio nello scantinato non lascia che trasparire qualche flebile traccia, ma forse non dobbiamo preoccuparci troppo. Infatti, «solo un computer può apprezzare i sonetti scritti da un computer», disse il genio dell’informatica Alan Turing, e ripeté il letterato Raymond Queneau nell’esergo dei suoi Centomila miliardi di poemi. Analogamente, solo un genio può apprezzare i pensieri di un genio. Gli altri, cioè le persone normali come noi, devono accontentarsi delle biografie: tutte inadeguate, come un sonetto che cerca inutilmente e impotentemente di descrivere il sorgere del Sole o il sorriso di un bambino.